Cou氏の徒然日記

ほのぼの日記ブログです。

統計検定２級への道その８ -推測統計-

統計検定 #数学 #資格

引き続き、統計検定のお勉強。

今回は、推測統計について。

■ 推測統計
■ 不偏推定量
■ 標本平均について

■ 推測統計

母集団から抽出した標本の情報を用いて、母集団の情報を推測すること。

母集団が非常に大きい場合、母集団の全てを調査することは困難であるため、標本調査を実施し、標本調査のデータから母集団のデータを統計学的に推測します。

推測統計により、母数 $( \mu, \sigma^{2})$ の値、取り出した標本平均 $\overline{X}$ や標本不偏分散 $S^{2}$ で推測します。

★標本平均★

$\quad \overline{X} = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} = \displaystyle \frac{1}{n} (X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n})$

★標本不偏分散★

$\quad S^{2} = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^2$

$\qquad = \displaystyle \frac{1}{n-1} \{ (X_{1} - \overline{X})^2 + (X_{2} - \overline{X})^2 + \cdots + (X_{n} - \overline{X})^2 \}$

↑ $E [ S^{2} ]$ を計算すると $\frac{n-1}{n} \sigma^{2}$ となるため。

■ 不偏推定量

母数 $\theta$ の推定量 $\hat{ \theta} = F(X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n})$ の期待値 $E [ \hat{ \theta} ]$ が母数 $\theta$ と等しい場合、 $\hat{ \theta}$ は $\theta$ の不偏推定量と呼ぶ。

■ 標本平均について

標本平均 $\overline{X}$ について以下が成り立つ。

$\quad \cdot \quad E [ \overline{X} ] = \mu$

$\quad \cdot \quad V [ \overline{X} ] = \displaystyle \frac{ \sigma^{2}}{n}$

$\quad \cdot \quad D [ \overline{X} ] = \displaystyle \frac{ \sigma}{ \sqrt{n}}$