Cou氏の徒然日記(2022)

ほのぼの日記ブログです。

今更ながら高校生クイズの問題にチャレンジ

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前に見た高校生クイズの中で唯一解けそうだと思った問題が、
準決勝延長戦の数学の問題。



サイコロを6回振って、何回目かにそれまでに出た数字の総和が6となる確率を求めろ

こういうのは実際には、帰納的とかそういった規則があるのかもしれないですが、
もうそういう知識(考え方)がさっぱり状態なので・・・普通に解いてみました。

1回目で6になる場合

これは、1回目で「6」が出る場合のみなので、『1/6』

2回目で6になる場合

2回くらいなら数えたほうが早いですね。
(1回目, 2回目) というように表すと、
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) の5通りであるため、『5/36』

3回目で6になる場合

3回目で6になるのは、次の4パターン。

① 2回目までの合計が2で、3回目に4が出た場合
② 2回目までの合計が3で、3回目に3が出た場合
③ 2回目までの合計が4で、3回目に2が出た場合
④ 2回目までの合計が5で、3回目に1が出た場合

①の場合

2回目までの合計が2になるのは、(1,1)しかないので、(1/36)×(1/6) = 1/216。

②の場合

2回目までの合計が3になるのは、(1,2),(2,1)の2通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。

③の場合

2回目までの合計が4になるのは、(1,3), (2,2), (3,1)の3通りなので、(3/36)×(1/6) = 3/216。

④の場合

2回目までの合計が5になるのは、(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)の4通りなので、(4/36)×(1/6) = 4/216

よって、3回目で6になる確率は、4つの場合を全て足して、『10/216』

4回目で6になる場合

4回目で6になるのは、次の3パターン。

① 3回目までの合計が3で、4回目に3が出た場合
② 3回目までの合計が4で、4回目に2が出た場合
③ 3回目までの合計が5で、4回目に1が出た場合

①の場合

3回目までの合計が3になるのは、(1,1,1)と出た場合なので、1/216。
よって、(1/216)×(1/6) = 1/1296。

②の場合

3回目までの合計が4になるのは、次の2パターン。

(1) 2回目までの合計が2で、3回目に2が出た場合
(2) 2回目までの合計が3で、3回目に1が出た場合

(1)の場合は、(1,1)しかないので、(1/36)×(1/6) = 1/216。
(2)の場合は、(1,2)(2,1)の2通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。
よって、確率は (3/216)×(1/6) = 3/1296。

③の場合

3回目までの合計が5になるのは、次の2パターン。

(1) 2回目までの合計が2で、3回目に3が出た場合
(2) 2回目までの合計が3で、3回目に2が出た場合
(3) 2回目までの合計が4で、3回目に1が出た場合

(1)(2)は②の場合と同じになるので、(3)のみ考えればよくて、
(3)の場合は、(1,3)(2,2)(3,1)の3通りなので、(3/36)×(1/6) = 3/216。
よって、確率は、{(1/216)+(2/216)+(3/216) }×(1/6) = 6/1296。

以上から、4回目で6になる確率は、3つの場合(①,②,③)を全て足して、『10/1296』

5回目で6になる場合

5回目で6になる確率は、次の2パターン。(さすがに計算が面倒になってきましたが・・・(苦笑))

① 4回目までの合計が4で、5回目に2が出た場合
② 4回目までの合計が5で、5回目に1が出た場合

①の場合

4回目までの合計が4になるのは、(1,1,1,1)の場合だけだから、(1/6)^5 = 1/7776。

②の場合

4回目までの合計が5になるのは、次の2つのパターン。

(1) 3回目までの合計が3で、4回目に2が出た場合
(2) 3回目までの合計が4で、4回目に1が出た場合

(1)の場合は、(1,1,1)の場合しかないので、(1/6)^3 ×(1/6) = 1/1296。
(2)の場合になるのは、次の場合。

(2-a) 2回目までの合計が2で、3回目に2が出た場合
(2-b) 2回目までの合計が3で、3回目に1が出た場合

(2-a)は、(1,1)の場合しかないので、(1/6)^2 ×(1/6) = 1/216。
(2-b)は、(1,2)(2,1)の2通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。
よって、(2)の確率は、(3/216)×(1/6) = 3/1296。

これから、②の確率は、(1)と(2)の確率から、(4/1296)×(1/6) = 4/7776。

以上から、5回目で6になる確率は、①と②をあわせて、『5/7776』

6回目で6になる場合

これは、全て1が出た場合なので、(1/6)^6 から『1/46656』

これらの全ての確率を足した場合が求める確率なので、

(1/6)+(5/36)+(10/216)+(10/1296)+(5/7776)+(1/46656) = 16807/46656





正面から挑むとメチャメチャ大変ですね。
でも、今の自分にはこれが限界?(苦笑)


・・・というか、途中で計算を間違えて、答えが一致しなくて、
かなり時間がかかっちゃいました。

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うちも計算ドリルを解いたほうがいいのかな・・・(爆)