今更ながら高校生クイズの問題にチャレンジ

前に見た高校生クイズの中で唯一解けそうだと思った問題が、
準決勝延長戦の数学の問題。

---

サイコロを６回振って、何回目かにそれまでに出た数字の総和が６となる確率を求めろ

こういうのは実際には、帰納的とかそういった規則があるのかもしれないですが、
もうそういう知識（考え方）がさっぱり状態なので・・・普通に解いてみました。

１回目で６になる場合

これは、１回目で「６」が出る場合のみなので、『1/6』。

２回目で６になる場合

２回くらいなら数えたほうが早いですね。
(１回目, ２回目) というように表すと、
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) の５通りであるため、『5/36』。

３回目で６になる場合

３回目で６になるのは、次の４パターン。

① ２回目までの合計が２で、３回目に４が出た場合
② ２回目までの合計が３で、３回目に３が出た場合
③ ２回目までの合計が４で、３回目に２が出た場合
④ ２回目までの合計が５で、３回目に１が出た場合

①の場合

２回目までの合計が２になるのは、(1,1)しかないので、(1/36)×(1/6) = 1/216。

②の場合

２回目までの合計が３になるのは、(1,2),(2,1)の２通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。

③の場合

２回目までの合計が４になるのは、(1,3), (2,2), (3,1)の３通りなので、(3/36)×(1/6) = 3/216。

④の場合

２回目までの合計が５になるのは、(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)の４通りなので、(4/36)×(1/6) = 4/216

よって、３回目で６になる確率は、４つの場合を全て足して、『10/216』。

４回目で６になる場合

４回目で６になるのは、次の３パターン。

① ３回目までの合計が３で、４回目に３が出た場合
② ３回目までの合計が４で、４回目に２が出た場合
③ ３回目までの合計が５で、４回目に１が出た場合

①の場合

３回目までの合計が３になるのは、(1,1,1)と出た場合なので、1/216。
よって、(1/216)×(1/6) = 1/1296。

②の場合

３回目までの合計が４になるのは、次の２パターン。

(1) ２回目までの合計が２で、３回目に２が出た場合
(2) ２回目までの合計が３で、３回目に１が出た場合

(1)の場合は、(1,1)しかないので、(1/36)×(1/6) = 1/216。
(2)の場合は、(1,2)(2,1)の２通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。
よって、確率は (3/216)×(1/6) = 3/1296。

③の場合

３回目までの合計が５になるのは、次の２パターン。

(1) ２回目までの合計が２で、３回目に３が出た場合
(2) ２回目までの合計が３で、３回目に２が出た場合
(3) ２回目までの合計が４で、３回目に１が出た場合

(1)(2)は②の場合と同じになるので、(3)のみ考えればよくて、
(3)の場合は、(1,3)(2,2)(3,1)の３通りなので、(3/36)×(1/6) = 3/216。
よって、確率は、{(1/216)＋(2/216)+(3/216) }×(1/6) = 6/1296。

以上から、４回目で６になる確率は、３つの場合（①,②,③）を全て足して、『10/1296』。

５回目で６になる場合

５回目で６になる確率は、次の２パターン。（さすがに計算が面倒になってきましたが・・・（苦笑））

① ４回目までの合計が４で、５回目に２が出た場合
② ４回目までの合計が５で、５回目に１が出た場合

①の場合

４回目までの合計が４になるのは、(1,1,1,1)の場合だけだから、(1/6)^5 = 1/7776。

②の場合

４回目までの合計が５になるのは、次の２つのパターン。

(1) ３回目までの合計が３で、４回目に２が出た場合
(2) ３回目までの合計が４で、４回目に１が出た場合

(1)の場合は、(1,1,1)の場合しかないので、(1/6)^3 ×(1/6) = 1/1296。
(2)の場合になるのは、次の場合。

(2-a) ２回目までの合計が２で、３回目に２が出た場合
(2-b) ２回目までの合計が３で、３回目に１が出た場合

(2-a)は、(1,1)の場合しかないので、(1/6)^2 ×(1/6) = 1/216。
(2-b)は、(1,2)(2,1)の２通りなので、(2/36)×(1/6) = 2/216。
よって、(2)の確率は、(3/216)×(1/6) = 3/1296。

これから、②の確率は、(1)と(2)の確率から、(4/1296)×(1/6) = 4/7776。

以上から、５回目で６になる確率は、①と②をあわせて、『5/7776』。

６回目で６になる場合

これは、全て１が出た場合なので、(1/6)^6 から『1/46656』。

これらの全ての確率を足した場合が求める確率なので、

(1/6)+(5/36)+(10/216)+(10/1296)+(5/7776)+(1/46656) = 16807/46656

---

正面から挑むとメチャメチャ大変ですね。
でも、今の自分にはこれが限界？（苦笑）

・・・というか、途中で計算を間違えて、答えが一致しなくて、
かなり時間がかかっちゃいました。

うちも計算ドリルを解いたほうがいいのかな・・・（爆）