Cou氏の徒然日記(2021)

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統計検定2級への道 その6 -正規分布-

引き続き、統計検定のお勉強。

今回は、正規分布について。

正規分布

正規分布とは、確率密度関数  f_{N}(x) が以下の通りになる分布のこと。

 \quad f_{N}(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}

 \qquad ( E [X ] = \mu ,  V [X ] = \sigma^{2} )

これを  N( \mu, \sigma^{2}) と表す。

 

中心極限定理 

平均  \mu、分散  \sigma^{2} の同一の確率分布から取り出した

 n 個の変数  X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n} に対する

相加平均  \overline{X} = \displaystyle \frac{X_{1}+X_{2}+ \cdots +X_{n}}{n} について、

 n が十分に大きいとき、 \overline{X} は、正規分布  N \left( \mu, \frac{ \sigma^{2}}{n} \right) に従う。

 

■ 標準正規分布

正規分布に従う確率変数  X について、新たな確率変数  Z = \displaystyle \frac{X - \mu}{ \sigma} とすると、

確率変数  Z は、 N(0,1) に従う。

平均  \mu 0,分散  \sigma^{2} 1 である  N(0,1)標準正規分布という。 

 

正規分布の定義に、 \mu = 0 \sigma = 1 を入れてみると、

 \quad f_{S}(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

となる。

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