Cou氏の徒然日記

ほのぼの日記ブログです。

統計検定２級への道その６ -正規分布-

統計検定 #数学 #資格

引き続き、統計検定のお勉強。

今回は、正規分布について。

■ 正規分布
■ 中心極限定理
■ 標準正規分布

■ 正規分布

正規分布とは、確率密度関数 $f_{N}(x)$ が以下の通りになる分布のこと。

$\quad f_{N}(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}$

$\qquad ( E [X ] = \mu , V [X ] = \sigma^{2} )$

これを $N( \mu, \sigma^{2})$ と表す。

■ 中心極限定理

平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^{2}$ の同一の確率分布から取り出した

$n$ 個の変数 $X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}$ に対する

相加平均 $\overline{X} = \displaystyle \frac{X_{1}+X_{2}+ \cdots +X_{n}}{n}$ について、

$n$ が十分に大きいとき、 $\overline{X}$ は、正規分布 $N \left( \mu, \frac{ \sigma^{2}}{n} \right)$ に従う。

■ 標準正規分布

正規分布に従う確率変数 $X$ について、新たな確率変数 $Z = \displaystyle \frac{X - \mu}{ \sigma}$ とすると、

確率変数 $Z$ は、 $N(0,1)$ に従う。

平均 $\mu$ が $0$ ，分散 $\sigma^{2}$ が $1$ である $N(0,1)$ を標準正規分布という。

正規分布の定義に、 $\mu = 0$ 、 $\sigma = 1$ を入れてみると、

$\quad f_{S}(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

となる。

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