Cou氏の徒然日記

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統計検定２級への道その17 -カイ二乗分布-

統計検定 #数学 #資格

　　

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引き続き、統計検定のお勉強。

■ カイ二乗分布

「自由度 $n$ のカイ( $\chi$ ) 二乗分布」とは確率密度関数が以下の $f(x)$ である確率分布のことを言う。

$\hspace{10mm} \displaystyle f(x, n) = \frac{1} {2^{\frac{n}{2}} \Gamma(\frac{n}{2})} \cdot x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}$

★ ガンマ関数

$\displaystyle \hspace{10mm} \Gamma(x) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$

☆ ガンマ関数の特性

$\Gamma(n+1) = n \Gamma(n)$
$\Gamma(n+1) = n!$
$\Gamma(1) = 1$

…といっても、t-分布と同じく、この式を覚えるのは大変で、計算も大変なので、統計検定２級の範囲では特に覚える必要はなく、どちらかというと、カイ二乗分布とは何かということを覚えれば問題ないようです。

t-分布では、標本平均の評価のためでしたが、カイ二乗検定は、母分散の検定や分布の適合度判定などに使われる検定。それに使われる分布が「カイ二乗検定」になります。

標準正規分布 $N(0,1)$ から無作為に取り出した標本 $X_{1}, X_{2}. \cdots, X_{n}$ について、

$\hspace{10mm} \overline{X} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}$

とすると、 $\overline{X}$ はカイ二乗分布 $\chi^{2} (n)$ に従う。

そのため、正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ から取り出した標本 $X_{1}, X_{2}. \cdots, X_{n}$ について、

$\displaystyle \hspace{10mm} \overline{X'} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_{i} - \mu}{\sigma} \right)^{2}$

とすると、 $\overline{X'}$ もカイ二乗分布 $\chi ^{2}(n)$ に従う。

また、 $X, Y$ の分布がそれぞれ $\chi^{2}(m), \chi^{2}(n)$ に従う場合、

$X+Y$ の分布は、 $\chi^{2}(m+n)$ に従う。

$X$ が $\chi^{2}(n)$ に従う分布の場合、

期待値 $E(X) = n$
分散 $V(X) = 2n$

となる。

ただ、実際には母平均 $\mu$ や母分散 $\sigma^{2}$ が未知である場合、標本平均 $\overline{X}$ や不偏分散 $U^{2}$ を使用することになるため、

$\displaystyle \hspace{10mm} \overline{X''} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_{i} - \overline{X}}{\sigma} \right)^{2} = \frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \overline{X})^{2} = \frac{(n-1)U^{2}}{\sigma^{2}}$

は、 $\overline{X''}$ はカイ二乗分布 $\chi ^{2}(n-1)$ に従う。(自由度が一つ下がる)

このあたりは、実際に演習問題を解きまくって掴むしかないですね。