Cou氏の徒然日記(2021)

ほのぼの日記ブログです。

統計検定2級への道 その5 -連続型確率分布-

引き続き、統計検定のお勉強。

coublood.hatenablog.com

 

今回は、連続型確率分布について。

 

■ 連続型確率分布

 

連続型確率分布は、離散形確率分布と違い、確率変数が連続である場合の分布。

そのため、

 P(a \leq X \leq b) = \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx

(  f(x)確率密度関数 )

となります。

 

そのため、取りうる確率は、確率密度関数積分した値、つまりX軸との関数で囲まれる面積になります。 

 

また、確率や確率密度関数は以下を満たします。

 P(X=a) = 0

 f(x) \geq 0

 \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx = 1   (全体で確率が1 (100%)になるため)

 

■ 期待値、分散、標準偏差

 E [ X ] = \mu = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx

 V [ X ] = \sigma^{2} = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} (x - \mu)^{2} \cdot f(x) dx

 \qquad = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f(x) dx - 2 \mu \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx + \mu^{2} \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx

 \qquad = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f(x) dx - 2 \mu \cdot \mu + \mu^{2} \cdot 1

 \qquad = E [ X^{2} ] - E [X ] ^{2}

 

 V [ X ] = \sigma = \sqrt{V [X ]}

 

マイナス無限大から無限大の範囲の積分ですが、実際、確率密度関数  f(x) 0区間もあるはずなので、実際に計算するとすれば、有限となることがほとんどかもしれませんね。