Cou氏の徒然日記(2021)

ほのぼの日記ブログです。

統計検定2級への道 その4 -二項分布-

引き続き、統計検定のお勉強。

coublood.hatenablog.com

 

今回は、二項分布について。

 

■ 二項分布

二項分布  B(n, p) とは、確率変数  X が次の確率分布に従うことを言う。

 確率変数X  確率P
 0  {}_n C_{0}  q^{n}
 1  {}_n C_{1}  p q^{n-1}
 2  {}_n C_{2}  p^{2} q^{n-2}
・・・ ・・・
 n-1  {}_n C_{n-1}  p^{n-1} q
 n  {}_n C_{n}  p^{n}

 P は確率。 q = 1-p とする。

 

■ 二項分布の期待値・分散・標準偏差

 E [X ] = np

 V [X ] = npq

 D [X ] = \sqrt{npq}

 

このあたりを覚えておけばよさそうですね。

 

実際、二項分布に従う確率分布ってそんなにあるの?というと、普通にありますからね。

例えば、コインを6回投げて、表が出た回数の確率分布とかは、二項分布

コインが表が出る確率は  \frac{1}{2}、裏が出る確率は  \frac{1}{2} \left( = 1 - (表が出る確率) \right)

なので  B(6, \frac{1}{2}) となり、確率は、

・  X = 0  →  P_{0} = {}_6 C_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{64}

・  X = 1  →  P_{1} = {}_6 C_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{6}{64}

・  X = 2  →  P_{2} = {}_6 C_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{15}{64}

・  X = 3  →  P_{3} = {}_6 C_3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{20}{64}

・  X = 4  →  P_{4} = {}_6 C_4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{15}{64}

・  X = 5  →  P_{5} = {}_6 C_5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{6}{64}

・  X = 6  →  P_{6} = {}_6 C_6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{64}

 

期待値、分散は

 E [X ] = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3

 V [X ] = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5

ですね。

 

ポアソン分布

二項分布  B(n, p) について、 \mu = np を一定に保った状態で、 n \rightarrow \infty p \rightarrow 0 とした分布を考える。

これは

 \quad P_{P}(x) = e^{- \mu} \cdot \frac{\mu ^{x}}{x !}

と表せる。