統計検定２級への道その４ -二項分布-

引き続き、統計検定のお勉強。

今回は、二項分布について。

二項分布 $B(n, p)$ とは、確率変数 $X$ が次の確率分布に従うことを言う。

$P$ は確率。 $q = 1-p$ とする。

$E [X ] = np$

$V [X ] = npq$

$D [X ] = \sqrt{npq}$

このあたりを覚えておけばよさそうですね。

実際、二項分布に従う確率分布ってそんなにあるの？というと、普通にありますからね。

例えば、コインを６回投げて、表が出た回数の確率分布とかは、二項分布。

コインが表が出る確率は $\frac{1}{2}$ 、裏が出る確率は $\frac{1}{2} \left( = 1 - (表が出る確率) \right)$ 。

なので $B(6, \frac{1}{2})$ となり、確率は、

・　 $X = 0$ → $P_{0} = {}_6 C_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{64}$

・　 $X = 1$ → $P_{1} = {}_6 C_1 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{6}{64}$

・　 $X = 2$ → $P_{2} = {}_6 C_2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{15}{64}$

・　 $X = 3$ → $P_{3} = {}_6 C_3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{20}{64}$

・　 $X = 4$ → $P_{4} = {}_6 C_4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{15}{64}$

・　 $X = 5$ → $P_{5} = {}_6 C_5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{6}{64}$

・　 $X = 6$ → $P_{6} = {}_6 C_6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = \frac{1}{64}$

期待値、分散は

$E [X ] = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$V [X ] = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

ですね。

二項分布 $B(n, p)$ について、 $\mu = np$ を一定に保った状態で、 $n \rightarrow \infty$ ， $p \rightarrow 0$ とした分布を考える。

これは

$\quad P_{P}(x) = e^{- \mu} \cdot \frac{\mu ^{x}}{x !}$

と表せる。

Cou氏の徒然日記