Cou氏の徒然日記

ほのぼの日記ブログです。

統計検定２級への道その３ -離散形確率分布の期待値・分散・標準偏差-

統計検定 #数学 #資格

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引き続き、統計検定のお勉強。

coublood.hatenablog.com

今回は、離散型確率分布の期待値、分散、標準偏差について。

離散型変数というのは、非連続な値を取る変数のことです。

例：サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6

■ 離散型確率分布

$X$ ：離散型確率変数

$E[X ]$ : 期待値

$V[X ]$ : 分散

$D[X ]$ : 標準偏差

★算出方法★

$X が n$ 個の要素からなる確率変数だとする。( $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}$ )

$E[X ] = \mu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}$

$V[X ] = \sigma^{2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} p_{i} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2} p_{i} - 2x_{i} \mu p_{i} + \mu^{2} p_{i})$

$\quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - 2 \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} \right) \mu + \mu^{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}$

$\quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - 2 \mu^{2} + \mu^{2} \cdot 1$

$\quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - \mu^{2}$

$D[X ] = \sigma = \sqrt{V [X ]}$

また $Y = aX + b$ の場合、

$E [Y ] = E [aX + b ] = a E [X ] + b$

$V [Y ] = V [aX + b ] = a^{2} V [X ]$

$D [Y ] = \sqrt{V [Y ]} = |a| \sqrt{V [X ]}$

演習問題をいくつか解きましたが、このあたりの式変形は理解しておかないと、計算量が大変なことになりますね…。