Cou氏の徒然日記(2021)

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統計検定2級への道 その3 -離散形確率分布の期待値・分散・標準偏差-

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引き続き、統計検定のお勉強。

coublood.hatenablog.com

 

今回は、離散型確率分布の期待値、分散、標準偏差について。

 

離散型変数というのは、非連続な値を取る変数のことです。

例:サイコロの目 1, 2, 3, 4, 5, 6

 

 

■ 離散型確率分布

 X:離散型確率変数

 E[X ] : 期待値

 V[X ] : 分散

 D[X ] : 標準偏差

 

★算出方法★ 

 X が n 個の要素からなる確率変数だとする。( x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})

 E[X ] = \mu = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}

 V[X ] = \sigma^{2} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \mu)^{2} p_{i} = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2} p_{i} - 2x_{i} \mu p_{i} + \mu^{2} p_{i})

 \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - 2 \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} p_{i} \right) \mu + \mu^{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}

 \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - 2 \mu^{2} + \mu^{2} \cdot 1

 \quad \quad \quad \quad \quad = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p_{i} - \mu^{2}

 D[X ] = \sigma = \sqrt{V [X ]}

 

また  Y = aX + b の場合、

 E [Y ] = E [aX + b ] = a E [X ] + b

 V [Y ] = V [aX + b ] = a^{2} V [X ]

 D [Y ] = \sqrt{V [Y ]} = |a| \sqrt{V [X ]}  

 

演習問題をいくつか解きましたが、このあたりの式変形は理解しておかないと、計算量が大変なことになりますね…。