Cou氏の徒然日記

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統計検定２級への道その10 -不偏推定量-

統計検定 #数学 #資格

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前回からかなり空いてしまいました。

忙しいとどうしても後回しにしちゃいがちなのがよくないですね…。

引き続き、統計検定のお勉強。

■ 不偏推定量

以前、不偏推定量の定義は抜き出して書いていますが、あれだと正直何？という感じになるので、復習のために再度整理。

母集団から取り出したサンプル(標本)のサイズ(個数)を $n$ とする。

$n \rightarrow \infty$ とした場合に、推定量の平均値が母集団の平均値に一致する推定量のことを「不偏推定量」という。

母集団から取り出した標本の平均は、母集団平均 $\mu$ を偏りなく推定する不偏推定量になる。

★ 不偏標準偏差

$\quad s = \sqrt{s^2} = \displaystyle \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}}$

本来は $(x_{i} - \mu)^{2}$ とするところを、母集団平均 $\mu$ が未知数のため、 $(x_{i} - \overline{x})^{2}$ としているため、 $\overline{x} \neq \mu$ となる。

$\overline{x}$ は標本の平均値、つまり母集団の中の一部の要素の平均値であるため、各 $(x_{i} - \overline{x})^{2}$ の値は $(x_{i} - \mu)^{2}$ の値よりも小さくなる。

つまり、 $\sum (x_{i} - \overline{x})^{2} \ge \sum (x_{i} - \mu)^{2}$ となってしまう。

そのため、 $n$ ではなく $n-1$ で割ることで、過小評価になることを補正する。

実際に $n-1$ で割ればいいというのは、

$\quad \hat{\sigma}^{2} = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}$

と置いた $\hat{\sigma}$ の期待値を計算することで

$\quad E[\hat{\sigma}] = \displaystyle \frac{n-1}{n} \sigma^{2}$

となることから、

$\quad s^{2} = \displaystyle \frac{n}{n-1} \hat{\sigma}^{2} = \displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}$

と補正することで、

$\quad E[s^{2}] = \sigma^{2}$

となるところからですね。